گروه رياضي دانشگاه صنعتي نوشيرواني بابل بابل ايران گروه رياضي دانشگاه صنعتي شاهرود شاهرود ايران

و ۱ دسترسي در سايت http://jnrm.srbiau.ac.ir سال دوم شماره ششم تابستان ۱۳۹۵ شماره شاپا: ۱۶۸۲-۰۱۹۶ پژوهشهاي نوین در ریاضی دانشگاه آزاد اسلامی واحد علوم و تحقیقات دستهبندي درختها با عدد رومي بزرگ حسين عبدالهزاده ۳ ۲ *۱ ا هنگر مهلا خيبري نادر جعفري راد (۲ (۳) گروه رياضي دانشگاه صنعتي نوشيرواني بابل بابل ايران گروه رياضي دانشگاه صنعتي شاهرود شاهرود ايران ) تاريخ دريافت مقاله: ۱۳۹۵/۳/۲۲ تاريخ پذيرش مقاله: ۱۳۹۵/۶/۲۷ چکيده تابع {0,1,2} V(G) :f يک تابع احاطهگر رومي (RDF) براي گراف G ناميده ميشود هرگاه براي هر راس u با شرط = 0 f(u) راسي مجاور با ا ن مانند v وجود داشته باشد بهطوري که = 2.f(v) وزن يک f RDF برابر است با. w(f) = عدد احاطهگر رومي گراف G را که با نماد (G) γ نمايش ميدهيم کمترين وزن يک RDF در f(v) گراف G است. در اين مقاله کليه درختهاي از مرتبه n با عدد احاطهگر رومي 3 n را دسته بندي ميکنيم. واژههاي کليدي: تابع احاطهگر رومي عدد احاطهگر رومي *. ha.ahangar@nit.ac.ir

۱۲ پژوهشهاي نوين در رياضي/ سال دوم شماره ششم تابستان ۱۳۹۵ مقدمه براي اصطلاحات و نمادهاي نظريه گراف که در اينجا ارايه نشده است خواننده را به [6,7] ارجاع ميدهيم. در اين مقاله G گرافي است با مجموعه راسهاي V(G) V = و مجموعه يالهاي E(G).E = مرتبه گراف G را با V = n و اندازه گراف G را با E = m نشان ميدهيم. براي راس v مجموعهي همه راسهايي که با راس v مجاورند را همسايگي باز راس v ناميده و بهصورت N(v) نشان ميدهيم و همسايگي بستهي راس v را بهصورت = N[v] S V تعريف ميکنيم. همسايگي باز N(v) {v} برابر است با مجموعه N(v) N(S) = و همسايگي بسته ا ن برابر است با مجموعه = N[S] (S).N(S) درجه راس V(G) v برابر است با N(v). deg (v) = deg(v) = همچنين مينيمم درجه و ماکسيمم درجه يک گراف به ترتيب با δ(g) δ = و (G) = معرفي ميشوند. منظور از يک برگ يک راس از درجه يک ميباشد و راس تکيهگاهي راسي مجاور به برگ است. مجموعه برگها و راسهاي تکيهگاهي را به ترتيب با L(G) و S(G) نشان ميدهيم و همچنين نماد L را براي مجموعه همه برگهايي که متصل به راس v هستند معرفي ميکنيم. منظور از K گراف کامل از مرتبه C n دور به طول n و P مسير به طول 1 n ميباشد. گراف بدست ا مده از گراف H با الصاق يک برگ به هر راس ا ن را با cor(h) نمايش ميدهيم. زيرگراف القاء شده توسط يک مجموعه S در گراف G را با[ G[S نشان ميدهند. به بزرگترين خروج از مرکز راسها در يک گراف قطر گراف گويند و با diam(g) نشان ميدهند. کمر گراف G طول کوتاهترين دور در ا ن گراف ميباشد و با girth(g) نشان ميدهند. اگر گراف G شامل دور نباشد کمر ا ن را تعريف ميکنيم. طول کوتاهترين مسير از راس u به راس v در گراف G را فاصلهي u از v ناميده و با (v d(u, نشان ميدهيم. مجموعه V(G) ح A يک مجموعه احاطهگر ناميده ميشود هرگاه V(G).N[A] = عدد احاطهگر گراف G که با γ(g) نشان داده ميشود برابر با تعداد اعضاي يک مجموعه احاطهگر است که کمترين تعداد عضو ممکن را دارد. هر مجموعه احاطهگر با مينيمم تعداد عضو را با -γ(g) مجموعه نشان ميدهيم. تابع {0,1,2} V(G) :f يک تابع احاطهگر رومي (RDF) براي گراف G ناميده ميشود هرگاه براي هر راس u با شرط = 0 f(u) راسي مجاور با u مانند v وجود داشته باشد بهطوري که = 2.f(v) وزن يک. w(f) = عدد f(v) برابر است با f RDF احاطهگر رومي گراف G که با نماد (G) γ نمايش مي- دهيم کمترين وزن يک RDF در گراف G است. به عبارت ديگر } که f يک.γ (G) = min{w(f) RDF منظور از يک (G) γ- تابع يک RDF ميباشد که داراي وزن (G) γ است. مفهوم احاطهگري رومي توسط کوکاي ين [4] معرفي شده است. براي مطالعه بيشتر خواننده را به 12] [2, 5, 8, 9, 10, 11, ارجاع ميدهيم. گرافهاي از مرتبه n با عدد احاطهگري رومي n در [4] دستهبندي شدهاند. همچنين گرافهاي از مرتبه n با عدد احاطهگري رومي 1 n و 2 n نيز در مقاله [1] دستهبندي شدهاند. در اين مقاله درختهاي از مرتبه n با عدد احاطهگري رومي 3 n را دستهبندي ميکنيم. در اين مقاله از نتايج مفيد زير استفاده ميکنيم: قضيه الف: [3] براي هر دور و مسير از مرتبه n داريم γ (P ) = γ (C ) =. F = بهطوري که Hها فرض کنيد H خانوادهاي از گرافها هستند که در مقاله [1] معرفي شدهاند. قضيه ب: [1] فرض کنيد G گرافي همبند از مرتبه n باشد. در اينصورت 2 n γ (G) = اگر و تنها اگر. G {P, P, P, C, C, C, K, K,, cor(c )} F دستهبندي درختها با عدد رومي بزرگ ابتدا چندين لم کليدي اراي ه ميدهيم. لم ۱: اگر G گرافي همبند از مرتبه 6 n با.γ (G) n باشد ا نگاه 4 (T) 5

۱۳ حسين عبدالهزاده ا هنگر و همکاران / دستهبندي درختها با عدد رومي بزرگ اثبات: فرض کنيد که x يک راس از درجهي (G) و } ( ) N(x) = {,,,,, x باشد. حال تابع {0,1,2} V(G) :f را با ضابطهي زير در نظر ميگيريم: f( ) = f( ) = f( ) = f( ) = 0 f(x) = 2 و براي هر N[x].f(y) = 1 y V(G) واضح است که f يک RDF براي گراف G با وزن حداکثر 4 n ميباشد. در نتيجه اثبات کامل ميشود. لم ۲: اگر G گرافي از مرتبه n و 11 diam(g) باشد ا نگاه 4 n.γ (G) اثبات: فرض کنيد {0,1,2} V(G) f: يک -γ تابع براي گراف P: ( ) G يک مسير قطري باشد و 11.diam(G) در اين صورت f = ({,,,,,,, }, V(T) {,, }, {,,, }) اثبات: فرض کنيد u و v دو راس از درجه حداقل سه در درخت T باشند به طوري که 3 (v.d(u, در اين صورت f = (N(u) N(v), V(G) (N[u] N[v]), {u, v}) يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد. در نتيجه اثبات کامل ميشود. لم ۴: اگر T درختي از مرتبه 12 n باشد که شامل چهار راس غير برگ z y x و t باشد بهطوري که = N(t) N(x) N(y) N(z) ا نگاه γ (T) n 4. اثبات: کافيست تابع f را بهصورت زير تعريف کنيم: = 2 f(t) f(x) = f(y) = f(z) = براي هر راس N(t) w N(x) N(y) N(z) = 0 f(w) و براي بقيهي راسهاي درخت T وزن ۱ را در نظر ميگيريم. واضح استکه f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد. در نتيجه اثبات کامل ميشود. در اين قسمت چند خانواده از درختها را معرفي ميکنيم که در بيان نتيجه اصلي به ا نها نياز داريم: يک RDF براي گراف G با وزن حداکثر 4 n ميباشد که بهاين ترتيب اثبات کامل ميشود. لم ۳: اگر درخت T از مرتبه n و شامل دو راس u و v از درجهي حداقل ۳ باشد بهطوري که 3 (v d(u, ا نگاه 4 n γ (G) است. x y z z x y x y w y z x y y y y شکل :۱ زير درختهاي T 2 T 1 و.T 3

ب( پ( ت( ب( ۱۴ پژوهشهاي نوين در رياضي/ سال دوم شماره ششم تابستان ۱۳۹۵ خانوادهاي از درختها شامل است که از زيرتقسيم بعضي از يالهاي ا ويزان حاصل ميشود به شرط ا نکه اگر يکي از يالهاي ا ويزان در x يا z دوبار زير تقسيم شود ا نگاه يال ا ويزان ديگر در ا ن راس زيرتقسيم نميشود. خانوادهاي از درختها شامل است که از زيرتقسيم حداقل ۲ و حداکثر ۴ بار بعضي از يالهاي ا ويزان در x يا y حاصل ميشود به طوري که يکي از حالتهاي زير رخ دهد: فلا( ( اگر يالي ۳ يا ۴ بار زير تقسيم شود ا نگاه هر يال ا ويزان ديگر حداکثر يکبار زير تقسيم ميشود. ( اگر يال ا ويزاني در x و يال ا ويزان ديگري در y دوبار زير تقسيم شوند ا نگاه حداقل يکي از يالهاي ا ويزان در x يا y زير تقسيم نميشود. خانوادهاي از درختها شامل است که از زيرتقسيم بعضي از يالهاي ا ويزان حاصل ميشود به طوري که اگر يال ا ويزاني در x و يال ا ويزان ديگري در y دوبار زير تقسيم شوند ا نگاه يالهاي ا ويزان در x و y زير تقسيم نميشوند. خانوادهاي از درختها شامل K, است که از زيرتقسيم حداقل دوبار بعضي از يالهاي ا ويزان حاصل ميشود به طوري که يکي از حالتهاي زير رخ دهد: فلا( ( اگر يال ا ويزاني ۵ بار زيرتقسيم شود ا نگاه هر يال ا ويزان ديگر حداکثر يکبار زير تقسيم ميشود يا يک يال ا ويزان دوبار و يال ا ويزان ديگر زير تقسيم نميشود. ( اگر يال ا ويزاني ۴ بار زير تقسيم شود ا نگاه يکي از يالها حداکثر دوبار زير تقسيم ميشود. ( اگر يکي از يالهاي ا ويزان ۳ بار زير تقسيم شود ا نگاه هر يال ا ويزان ديگر حداکثر ۲ بار زير تقسيم ميشوند. ( حداقل دو يال ا ويزان دوبار زير تقسيم ميشوند. خانوادهاي از درختها شامل است که از زير تقسيم هر برگ حداکثر يک بار بهدست ميا يد. خانوادهاي از درختها شامل است بهطوري که حداکثر يکي از برگهاي در راس از درجه (T) دو بار زير تقسيم و بقيه برگها حداکثر يک بار زير تقسيم شوند. خانوادهاي از درختها شامل = K, است بهطوري که هر برگ ا ن حداکثر دوبار زي تقسيم شود و اگر سه برگ ا ن دوبار زيرتقسيم شوند ا نگاه برگ ديگر زير تقسيم نشود. x x z z y y y y شکل :۲ زير درختهاي T 5 و T 6

حسين عبدالهزاده ا هنگر و همکاران / دستهبندي درختها با عدد رومي بزرگ حال قضيه اصلي مقاله را اراي ه ميکنيم. قضيه ۵: فرض کنيد T درختي از مرتبه n باشد. در اينصورت 3 n γ (T) = است اگر و تنها اگر T {P, P, P }. اثبات: فرض کنيد {0,1,2} V(T) f: يک -γ تابع براي درخت T و P: يک مسير قطري براي درخت T باشد. با توجه به لم ۲ داريم 10.diam(T) از طرف ديگر با توجه به لم ۱ داريم 4 (T). حالتهاي زير را بر اساس (T) در نظر ميگيريم: حالت = 2 :۱. (T) با توجه به قضيه الف واضح است که براي 7 n 3 n γ (P ) ميباشد. بنابراين به وضوح T {P, P, P }. حالت = 3 :۲. (T) ابتدا ادعاهاي زير را ثابت ميکنيم. ادعا ۱: درخت T حداکثر سه راس از درجهي (T) دارد. اثبات: با توجه به لم ۳ فاصله هر دو راس از درجهي حداقل ۳ حداکثر ۲ ميباشد. فرض کنيد u و v دو راس از درجهي حداقل ۳ باشند و w راس مياني اين دو راس باشد. با استفاده مجدد از لم ۳ به سادگي ميتوان ديد که هر راس از درجهي حداقل ۳ بايد در N[w] باشد. از طرف ديگر اگر راسي از درجهي حداقل ۳ در N(w) باشد ا نگاه به سادگي قابل بررسي است که 4 n γ (G) که تناقض است. بنابراين نتيجه مطلوب حاصل ميشود. با توجه به لم ۳ و ادعا ۱ يکي از زيردرختهاي T يا K, برحسب ماکزيمم تعداد راسهاي از درجهي (T) را داريم با اين شرط که هر راس {z V(T),x},y از درجه ۲ يا برگ است. زيرحالتهاي زير را بررسي ميکنيم: ۱۵ زيرحالت ۱-۲: درخت T دقيقا سه راس از درجهي (T) دارد. با توجه به ادعا ۱ به ا ساني مشاهده ميشود که سه راس از درجهي (T) مجاور هم قرار دارند. فرض کنيد که y x و z سه راس مجاور از درجهي (T) باشند بهطوري که y} N(y) = N(x) = {,, } {x, z, y و y}.n(z) = {z, z, لم ۴ نتيجه ميدهد که هر يال ا ويزان از زير درخت حداکثر دوبار زير تقسيم ميشود. حال نشان ميدهيم که تنها يک يال ا ويزان در راسهاي x و z ميتواند حداکثر دو بار زيرتقسيم شود. فرض (خلف) کنيد که دو يال ا ويزان از زير درخت دوبار زير تقسيم شوند. اگر يالهاي ا ويزان x و yy دوبار زير تقسيم شوند ا نگاه با بهکارگيري لم ۴ داريم 4 n γ (T) که تناقض است. حال فرض کنيد يالهاي ا ويزان x و x هب( طور مشابه يالهاي ا ويزان zz و zz يا يالهاي ا ويزان x و (zz دوبار زير تقسيم شوند. در اينصورت مسيرهاي P : xw w و P : xw w در درخت T وجود دارند. حال تابع f را با ضابطهي زير در نظر ميگيريم: = 2 ) f(z) = f(w ) = f(w براي هر راس ) f(w) = 0 w N(z) N(w ) N(w و به بقيه راسهاي درخت T وزن ۱ را اختصاص ميدهيم در اينصورت f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض است. اگر يال ا ويزان RDF دوبار زير تقسيم شود بهسادگي ميتوان يک yy براي درخت T با وزن حداکثر 4 n يافت که تناقض است. بنابراين يال ا ويزان yy حداکثر يکبار زير تقسيم ميشود. در نهايت نشان ميدهيم که اگر يکي از يالهاي ا ويزان در راسهاي x يا z دوبار زير تقسيم شود ا نگاه يالهاي ا ويزان ديگر در گراف T برگ ميباشند. در غير اينصورت بهسادگي مشابه قبل ميتوان يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n يافت که تناقض ميباشد. در نتيجه زيرحالت ۲-۲: درخت T دقيقا دو راس از درجهي (T) دارد.

۱۶ ا ويزان در.x در اينصورت مسيرهاي xw w و xz z در درخت T وجود دارند. حال تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم. = 2 f(y) f(w ) = f(z ) = براي هر راس N(y) f(w) = 0 w N(w ) N(z ) و براي بقيه راسهاي گراف وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. واضح استکه f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض است. پژوهشهاي نوين در رياضي/ سال دوم شماره ششم تابستان ۱۳۹۵ فرضکنيد x و y دو راس از درجهي( T ) باشند. دوحالت اتفاق ميافتد. (الف) E(T) xy يا (ب) E(T).xy بررسي حالت (الف ): با توجه به قضيه ب حداقل يکي از برگهاي حداقل دوبار زيرتقسيم ميشود. حال نشان ميدهيم که هر يال ا ويزان زير درخت T حداکثر ۴ بار زير تقسيم ميشود. فرض خلف کنيد که چنين نباشد لذا مسير P: xw w w w w در درخت T وجود دارد. در اينصورت تابع f با ضابطهي زير را در نظر مي- گيريم. = 2 f(y) f(w ) = f(w ) = براي هر راس N(y) f(w) = 0 w N(w ) N(w ) و براي بقيه راسهاي گراف وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. در اينصورت f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض است. ادعا ۲: اگر يالي ۳ يا ۴ بار زير تقسيم شود ا نگاه هر يال ا ويزان ديگر حداکثر يکبار زير تقسيم ميشود. اثبات: فرض خلف کنيد که يال ا ويزاني از زير درخت T ۳ بار زير تقسيم شود و حداقل يک يال ا ويزان ديگر حداقل دوبار زيرتقسيم شود. بدون از دست دادن کليت مسي له مسيرهاي P : xw w w و P : xz z را در نظر بگيريد. در اينصورت تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم. = 2 f(y) f(w ) = f(z ) = براي هر راس N(y) f(w) = 0 w N(w ) N(z ) و براي بقيه راسهاي گراف وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. واضح استکه f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض است. با بهکارگيري لم ۴ ادعاي زير به ا ساني اثبات ميشود. ادعا ۳: اگر يال ا ويزاني در x و يال ا ويزان ديگري در y دوبار زير تقسيم شوند ا نگاه حداقل يکي از يالهاي ا ويزان در x يا y زير تقسيم نميشود. با توجه به قضيه ب حداقل يک يال ا ويزان در x و y بايد دوبار زيرتقسيم شود. حال نشان ميدهيم اگر دو يال ا ويزان در x و y دوبار زير تقسيم شوند ا نگاه ا ن دو يال ا ويزان در يک راس تکيهگاهي مشترک واقع نيستند. فرض (خلف) کنيد که دو يال ا ويزان که در يک راس تکيهگاهي واقع هستند را دوبار زيرتقسيم کنيم مثلا يال بنابراين با توجه به مفروضات بالا و ادعاهاي ۲ و ۳ داريم: بررسي حالت (ب): با بهکارگيري لم ۴ ادعاي زير به ا ساني اثبات ميشود. ادعا ۴: اگر يال ا ويزاني در x و يال ا ويزان ديگري در y دوبار زير تقسيم شوند ا نگاه يالهاي ا ويزان در x و y زير تقسيم نميشوند. با استدلالي مشابه حالت قبل ميتوان ثابت کرد که اگر دو يال ا ويزان که در يک راس تکيهگاهي واقع هستند را دوبار زيرتقسيم کنيم ا نگاه 4 n γ (T) که تناقض است. بنابراين با توجه به مفروضات بالا و ادعا ۴ داريم: زيرحالت ۳-۲: دقيقا يک راس از درجهي (T) باشد. ادعا ۵: اگر يال ا ويزاني ۵ بار زيرتقسيم شود ا نگاه هر يال ا ويزان ديگر حداکثر يکبار زير تقسيم ميشود يا يک يال ا ويزان دوبار زيرتقسيم ميشود و يال ا ويزان ديگر زير تقسيم نميشود. اثبات: اگر يال ا ويزاني دوبار زيرتقسيم شود ا نگاه به يال ا ويزان ديگر زيرتقسيم ۴ لم وضوح با استفاده نميشود. با بهکارگيري لم ۴ ادعاي زير به ا ساني اثبات ميشود. ادعا ۶: اگر يال ا ويزاني ۴ بار زيرتقسيم شود ا نگاه يکي از يالها حداکثر دوبار زير تقسيم ميشود. ادعا ۷: اگر يال ا ويزاني ۳ بار زير تقسيم شود ا نگاه هر يال ا ويزان ديگر حداکثر ۲ بار زير تقسيم ميشود. اثبات: فرض (خلف) کنيد که چنين نباشد. لذا مسيرهاي T در درخت P : xz z z و P : xw w w

۱۷ حسين عبدالهزاده ا هنگر و همکاران / دستهبندي درختها با عدد رومي بزرگ وجود دارند. در اينصورت تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم. = 2 ) f(z ) = f(x) = f(w براي هر راس ) f(w) = 0 w N(x) N(w ) N(z و براي بقيه راسهاي گراف وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. واضح استکه f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض است. با بهکارگيري قضيه ب ادعاي زير به ا ساني اثبات ميشود. ادعا ۸: حداقل دو يال ا ويزان دوبار زير تقسيم ميشوند. بنابراين با توجه به مفروضات بالا و ادعاهاي ۷ ۶ ۵ و ۸ داريم: حالت = 4 :۳. (T) ادعا ۹: درخت T دقيقا يک راس از درجهي (T) دارد. اثبات: فرض (خلف) کنيد که حداقل دو راس x و y از درجهي (T) باشند. در اينصورت تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم. w N(x) براي هر راس f(x) = f(y) = 2 N(y) f(w) = 0 و براي بقيه راسهاي گراف وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. واضح استکه f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض است. ادعا ۱۰: اگر = 4 deg(x) باشد ا نگاه براي هر راس y که = 3 deg(y) داريم = 1 y).d(x, که y کنيد براي راسي مانند (خلف) فرض اثبات: در اينصورت 2 y).d(x, داريم = 3 deg(y) تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم. w N(x) براي هر راس f(x) = f(y) = 2 N(y) f(w) = 0 و براي بقيه راسهاي گراف وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. واضح استکه f يک RDF 4 n ميباشد که T با وزن حداکثر براي درخت تناقض است. فرض کنيد }.N(x) = {,,, x با بکارگيري ادعا ۱۰ به ا ساني نتيجه ميگيريم که هر راس از درجهي ۳ در N(x) ميباشد. از طرف ديگر واضح استکه حداکثر ۲ راس از N(x) از درجهي ۳ هستند. لذا زيرحالتهاي زير را بررسي ميکنيم. زيرحالت ۱-۳: دقيقا دو راس از N(x) از درجهي ۳ باشند. نشان ميدهيم که هر برگ در حداکثر يکبار زير تقسيم ميشود. فرض (خلف) کنيد که چنين نباشد و يکي از يالهاي دوبار زير تقسيم شود. پس يکي از مسيرهاي P : w w y يا P : xz z y در درخت T وجود دارد. اگر مسير P وجود داشته باشد در اينصورت تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم. w براي هر راس f(w ) = f(x) = 2 ) f(w) = 0 N(x) N(w و براي بقيه راس- هاي درخت T وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. واضح است- که f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض است. اگر مسير P وجود داشته باشد در اينصورت تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم. = 2 ) f(z ) = f( ) = f(x براي هر راس ) f(w) = 0 w N( ) N( ) N(z و براي بقيه راسهاي درخت T وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. واضح استکه f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض است. با توجه به مفروضات بالا نتيجه ميگيريم که زيرحالت ۲-۳: تنها يک راس از N(x) از درجهي ۳ باشد. ادعاهاي زير را ثابت ميکنيم: ادعا ۱۱: هر يال ا ويزان در x حداکثر يکبار زير تقسيم ميشود. اثبات: فرض (خلف) کنيد که حداقل ۲ يال ا ويزان در P : w w y دوبار زير تقسيم شوند. لذا مسير در درخت T وجود دارد. در اينصورت تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم.

پژوهشهاي نوين در رياضي/ سال دوم شماره ششم تابستان ۱۳۹۵ w N(x) براي f(x) = f(w ) = 2 T و براي بقيه راسهاي درخت f(w) = 0 N(w ) وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. واضح استکه f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض ميباشد. ادعا ۱۲: حداکثر يکي از يالهاي ا ويزان در x دوبار زير تقسيم ميشود. اثبات: فرض (خلف) کنيد که حداقل ۲ يال ا ويزان در x دوبار زير تقسيم شوند. لذا مسيرهاي P : xw w و P : xz z در درخت T وجود دارند. در اينصورت تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم. = 2 ) f(z ) = f( ) = f(w براي هر راس f(w) = 0 w N( ) N(w ) N(z ) و براي بقيه راسهاي درخت T وزن ۱ را اختصاص مي- دهيم. واضح استکه f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض ميباشد. با توجه به ادعاهاي ۱۱ و ۱۲ نتيجه ميگيريم که ۱۸ بهوضوح درخت T شامل = K, ميباشد و تمام راسهاي گراف بجز راس مرکزي از درجهي ۲ ميباشند. ادعاهاي زير را بررسي ميکنيم: ادعا ۱۳: هر يال ا ويزان دوبار زير تقسيم ميشود. اثبات: فرض (خلف) کنيد که چنين نباشد و يال ا ويزاني از T سهبار زيرتقسيم شود. لذا مسير P : xw w w در درخت T وجود دارد. در اين صورت تابع f با ضابطهي زير را در نظر ميگيريم. w براي هر راس f(x) = f(w ) = 2 ) f(w) = 0 N(x) N(w و براي بقيه راسهاي درخت T وزن ۱ را اختصاص ميدهيم. واضح استکه f يک RDF براي درخت T با وزن حداکثر 4 n ميباشد که تناقض است. همچنين با بهکارگيري لم ۴ ادعاي زير به ا ساني ثابت ميشود. ادعا ۱۴: اگر سه يال ا ويزان از T دوبار زيرتقسيم شوند ا نگاه يال ا ويزان ديگر زيرتقسيم نميشود. با توجه به ادعاهاي ۱۳ و ۱۴ نتيجه ميگيريم که ۳ T زيرحالت ۳-۳: نداشته باشد. درخت هيچ راس از درجهي

۱۹ Referenc: 1. H. Abdollahzadeh Ahangar and M. Khaibari, Graphs with large Roman domination number, Submitted. 2. W.E. Chambers, B. Kinnersley, N. Prince, Douglas B. West, Extremal Problems for Roman Domination, SIAM J. Discrete Math. 23 (2009), 1575-1586. 3. J.E. Cockayne, P. A. Dreyer Jr, S. M. Hedetniemi, S.T. Hedetniemi, Roman domination in graphs, Discrete Math. 278 (2004), 11-22. 4. E.J. Cockayne, PJP. Grobler, W. Grundlingh, J. Munganga, JH. van Vuuren, Protection of a graph, Discrete Math. 67 (2005), 19-32. 5. H. Fernau, Roman domination a a parameterized perspective, Int. J. Comput. Math. 85 (2008), 25-38. 6. T. W. Haynes, S. T. Hedetniemi, P. J. Slater, Fundamentals of in Domination Graphs, Marcel Dekker Inc. New York, 1998. 7. T. W. Haynes, S. T. Hedetniemi, P. J. Slater, Domination in Graphs: Advanced Topics, Marcel Dekker Inc. New York, 1998. 8. M.A. Henning, A characterization of Roman trees, Discuss. Math. Graph Theory, 22(2) (2002), 325-334. 9. M.A. Henning, Defending the Roman empire from multiple attacks, Discrete Math. 271 (2003), 101-115. 10. M.A. Henning and S.T. Hedetniemi, Defending the Roman empire-a new strategy, Discrete Math. 266 (2003), 239-251. 11. C.S. ReVelle and K.E. Rosing, Defendens imperium Romanum : a classical problem in military strategy. حسين عبدالهزاده ا هنگر و همکاران / دستهبندي درختها با عدد رومي بزرگ Am. Math. Mon. 107(7) (2000), 585-594. 12. X. Song and X. Wang, Roman domination number and domination number of a tree, Chin. Q. J. Math. 21 (2006), 358-367.

پژوهشهاي نوين در رياضي/ سال دوم شماره ششم تابستان ۱۳۹۵ ۲۰